什么是振動？簡單的說，就是某個物理量的值隨時間周期變化的現(xiàn)象。
振動的物理量隨時間周期變化的曲線叫振動曲線，例如（仔細看，周期是存在的哦）
最常見的振動是機械振動，隨時間周期變化的那個物理量是位置。 質(zhì)點的位置是一個時間的函數(shù)，對于一般的運動來說，它就是一個矢量函數(shù)，即
它也被稱作運動方程。 對于機械振動來說，由于位置是周期性變化的，運動方程應(yīng)該是一個時間的周期函數(shù)。
機械振動非常直觀，但它并非振動的全部，廣義的振動可以是任何物理量隨時間的周期變化。
例如，一天中，早上溫度最低，隨著太陽升起，溫度逐漸上升，到下午2點左右，溫度達到最高，然后開始降低，直到第二天早上達到最低，如此反復(fù)。
更簡單的例子，擺動的吊燈，相對于豎直線的偏離角度，隨時間來回往復(fù)的變化。類似的，一個持續(xù)擺動的牛頓擺也是如此。
01
幾個振動的例子
下面來仔細看幾個振動的例子。
一個球豎直上拋后落下，與地面彈性碰撞后彈起，再落下又彈起，這個過程就是一個典型的振動過程。以上拋點為原點，向上為 軸，則其振動曲線如下，它由一段段完全相同的拋物線拼接而成。
溫馨提示：由于實際的機械振動曲線中，不可能出現(xiàn)速度不存在的點——例如圖中那些導(dǎo)數(shù)不存在的地方。所以， 這里列舉的幾個振動只是理論上的振動曲線，作為機械振動是不可能真實存在的。
設(shè)上圖中每一段拋物線的寬度為 ，高為 。你能寫出描述該振動的函數(shù) 嗎？看起來很難，因為它不是一個普通的周期函數(shù)，不信你可以試試。
太復(fù)雜？那就來個更簡單點的吧，看下面的振動曲線，某個物理量 隨時間變化如下
曲線中的三角形都是全等正三角形，邊長為 。是不是仍然無法寫出它的函數(shù)？
的確，除非你借助那些特殊的函數(shù)，例如對 內(nèi)的部分，可表示為
溫馨提示：這里面的 和 圍起來是floor函數(shù)的符號，它是用來取整的。
否則，你還真沒辦法寫出它的表達式。
再看一種更簡單的振動曲線，某物理量 隨時間變化如下
設(shè)曲線的每一段長度都為 。你能寫出這個函數(shù)嗎？
再次抱歉，你同樣寫不出來！除非你借助符號函數(shù) 將其寫成
溫馨提示： 的定義為： 稱作符號函數(shù)。
看到了吧，那些看起來很直觀的振動，其運動方程卻都如此復(fù)雜！
看來，從數(shù)學(xué)上講，這幾個振動都不太好對付啊。
那么，有沒有簡單一點的振動呢？
02
勻速圓周運動與簡諧振動
仔細想一下，什么樣的振動可能是最簡單的振動呢？
別忘了，振動的一般定義是物理量隨時間周期變化的運動，不要總想著沿一個維度左右、上下來回的運動，思路放開一點嘛！
繞著一個閉合路徑做周期運動算不算振動？當(dāng)然算！
矮油！這么一提示，頓時就想到了，它不就是勻速圓周運動嘛！
沒錯， 我相信大多數(shù)人認為非它莫屬！是啊，還有什么周期運動有勻速圓周運動這般簡單和諧？！
設(shè)勻速圓周運動的角速度為 ，則每隔 的時間，質(zhì)點重回原位。 運動具有周期性，所以圓周運動的確是振動！一種極為特殊的振動！
既然勻速圓周運動如此簡單，那么它的運動方程是什么呢？
設(shè)其圓周的半徑為 ，角速度為 ，設(shè)零時刻，它相對 軸的正向已轉(zhuǎn)過了 角，則運動方程為：
搞半天，就只有勻速圓周運動能用一個比較簡單的周期函數(shù)表示。
那么，勻速圓周運動的振動方程意味著什么呢？
看看它所包含的東東——正弦和余弦函數(shù)！
物理上定義，位置隨時間按照正弦或余弦函數(shù)變化的振動叫做簡諧振動。其運動方程可表示為 或 例如彈簧振子的振動和單擺的小角度擺動都呈現(xiàn)這種形式。
沒錯，勻速圓周運動本身就是由兩個垂直的簡諧振動合成得到的，正因為它的兩個分振動分別由 正弦和余弦函數(shù)描述，所以勻速圓周運動也是周期運動！
現(xiàn)在你知道了，勻速圓周運動不是最簡單的振動！因為它包含兩個更基本的振動。
如下圖所示，可以看到，勻速圓周運動沿著圓的任一條直徑上的分運動就是一個簡諧振動。
受此啟發(fā)，設(shè)一個長度固定的矢量繞起點以角速度 沿逆時針勻速轉(zhuǎn)動 ，它的箭頭在某條直徑上的投影的運動是一個簡諧振動。換句話說，任何一個簡諧振動的背后總對應(yīng)著一個旋轉(zhuǎn)矢量，如下圖
但實際上，簡諧振動才是構(gòu)成勻速圓周運動的基本元素，而不是相反。只不過對大多數(shù)人來說，勻速圓周運動更易于理解，所以借助“旋轉(zhuǎn)矢量”，簡諧振動看起來更直觀。
03
正弦和余弦：最基本的周期函數(shù)
如此看來，只要用數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，或周期函數(shù)的組合，來構(gòu)建運動方程，那么不就可以得到各種各樣的振動嗎？
那么，除了正弦和余弦，還有哪些周期函數(shù)呢？
周期函數(shù)，這么重要的一類函數(shù)，應(yīng)該很多吧？
趕緊翻數(shù)學(xué)手冊！
然而，結(jié)果有點令人意外！
除了正弦和余弦函數(shù)之外，要不就是一些由它倆構(gòu)造的周期函數(shù)，比如tan、ctan和sec等等；要不就是一些不光滑的周期函數(shù)——就像我前面列舉的三角和方形函數(shù)，它們根本無法代表真實的運動。
換句話說，正弦和余弦函數(shù)就是唯二的倆周期函數(shù)！
難怪啊難怪，難怪一般的周期運動都如此復(fù)雜，因為根本不存在簡單的周期函數(shù)能夠描述它們；難怪勻速圓周運動如此簡單！原來是因為它所包含的兩個振動成分是如此純粹！
呃，這個發(fā)現(xiàn)簡直太厲害了！
到此，你可能隱隱的感覺到：或許一切周期函數(shù)之所以能成為周期函數(shù)，本質(zhì)上都歸結(jié)于正弦和余弦函數(shù)？
事實的確如此！周期函數(shù)之所以是周期函數(shù)，一切皆因正弦和余弦函數(shù)這對孿生兄弟！誰叫他倆是僅有的兩個“原創(chuàng)型”的光滑周期函數(shù)呢？
數(shù)學(xué)上可以證明，一個周期函數(shù) 總可以通過若干個正弦和余弦函數(shù)組合來得到，即 這就是 傅里葉級數(shù)，其中系數(shù) (含 )和 為
舉個例子，下面這個函數(shù) 的圖像看起來很復(fù)雜吧？
但實際上，此函數(shù)由三個余弦函數(shù)加起來得到，具體表達式是： 你可用Matlab或者隨便一個在線繪圖工具來驗證一下。
講到這里意識到，之所以任意周期函數(shù)都能用正弦和余弦函數(shù)的組合來表示，這不是因為他哥倆多厲害，純粹是因為物以稀為貴——只有他倆是最簡單的周期函數(shù)。
換句話說，只有他倆才擁有周期的創(chuàng)始基因，但凡其他周期函數(shù)者，皆因他倆而起也，皆繼承于他倆，由他倆組合而得。
04
簡諧振動：最簡單的振動
既然一般的周期函數(shù)可看作由正弦和余弦函數(shù)組合而成，那么相應(yīng)的，任何一個一般的振動總可以看作是若干個正弦和余弦函數(shù)所表示的振動的合成。
不錯，正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)的基本元素，它們所描述的振動是最基本、最簡單的振動！
例如，除勻速圓周運動之外，周期的橢圓運動也是由相互垂直的兩個簡諧振動合成得到。
而任意周期運動，總可由若干個簡諧振動合成得到。 例如，下面這種振動（藍色線）可看作是由多個頻率不同的簡諧振動合成的，所采用的簡諧振動越多，合成的振動越接近藍色線代表的振動。
所以，正弦或余弦函數(shù)所描述的振動可看作是振動的基本成分。之所以被稱作簡諧振動，“簡”字正是強調(diào)它是自然界中最簡單的振動。 而“諧”字的意思是，振動一直持續(xù)下去，強調(diào)其能量不會耗散。
更廣泛的，非周期的函數(shù)可以看作是周期無限大的函數(shù)，它們也可以看作是正弦和余弦通過加權(quán)函數(shù)的組合，這就是 傅里葉變換，它是 傅里葉級數(shù)的推廣。據(jù)此，即使非周期運動，形式上也可看作是由簡諧振動合成的。
因此，正弦和余弦函數(shù)也可看作構(gòu)成一切函數(shù)的基本元素，由他們描述的振動——簡諧振動，是構(gòu)成一切運動的基本單元。
END
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