從目前一些高等數學的教材以及網絡上對拐點的定義來看，似乎并不太明確，造成了老黃的一些疑惑，在這里提出來與諸位共同探討一下。
(相關資料圖)
老黃學習的教材版本中，對拐點的定義是這樣的：
定義1：設曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的，這時稱點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點.
理解這個定義，有兩個關鍵點：
①曲線和切線在點(x0,f(x0))互相穿過；
②在U的某鄰域內，右側鄰域U+(x0)和左側鄰域U-(x0)的凸性是嚴格且相反的。
按道理，定義肯定要非常準確的。然而，有一些地方，卻把函數f(x)=|x^2-1|的點(1,0)和點(-1,0)定義成函數的拐點。那問題就來了，曲線f(x)=|x^2-1|顯然在點(1,0)和點(-1,0)這兩個點甚至是不可導，更不可能存在切線，又何來切線與曲線互相穿過一說呢？
因此，如果按照這個定義理解，點(1,0)和點(-1,0)就不是f(x)=|x^2-1|的拐點。不過類似這種情況還有很多，在一些地方，造成爭論是難免的。按拐點的另一個概念“反曲點”來看。拐點的定義似乎改成下面這個形式更加合適。
定義2：函數y=f(x)在點x0的某鄰域內連續，若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)凹與凸的分界點，則稱(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點。
按定義2，點(1,0)和點(-1,0)明顯就是f(x)=|x^2-1|的拐點。而且這個定義在網上也是可以考證的，只是它的地位卻不如定義1，總是作為定義1的補充說明出現的。所以老黃才會說，目前對拐點的定義并不夠明確。
老黃覺得，定義1是把拐點處切線穿過曲線的普遍情形當作定義的一個部分了。但除了普遍情形，其實還有很多特殊情形。一旦寫進了定義，就變成了必要條件，從而就會排除掉很多特殊情形，造成定義的不準確。
除了這點，定義1還有很多經不起推敲的地方。比如定義中說“曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的”，其實這種說法是不準確的。因為它意味著，曲線被分成兩個區間，然而曲線是可以被分成無數的區間的，只要在相鄰兩個區間上，滿足這個條件就可以了。因此，無論是定義2還是老黃補充的解析②，都明確指出，只需要在x0的某鄰域上滿足條件就可以了。
另外，還有一點涉及到導數和切線的知識的爭議點。那就是定義1中提到，曲線在x0的切線，自然地，函數在x0的切線存在就成了一個必要條件。然而，前面提到的，f(x)=|x^2-1|在拐點點(1,0)和(-1,0)上切線都不存在。
而且切線的存在容易被誤認為可導。但其實切線存在未必就可導。因為有一種特殊的情況，是導數等于無窮大時，我們就變它導數不存在，從而也不可導。比如函數y=三次根號x在x=0上就是這種情況。這點讓老黃覺得非常別扭。在老黃看來“切線存在”、“導數存在”、“函數可導”這三者如果統一起來，更容易讓人接受。
因此，老黃覺得定義2更加靠譜。定義1應該作為“可導的拐點”的定義，而不是拐點的定義。因為對拐點的研究，通常是通過對該點的二階導數的研究來進行的。所以，可導的拐點的定義，也有它存在的意義。
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